Question

若函数f（x）对定义域中任意x，均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称；

若函数f（x）对定义域中任意x，均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称；（1）已知 f(x)= x 2 -mx+1 x 的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=-2 x -n（x-1），求函数g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；（3）在（1）（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）+tf（t）＞0，求正实数n的取值范围．

Answer 1

（本题12分） （1）∵ f(x)= x 2 -mx+1 x 的图象关于点（0，1）对称， ∴f（1）+f（-1）= 1-m+1 1 + 1+m+1 -1 =2， 解得：m=-1．（2分） （2）∵g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称， 且当x∈（0，+∞）时，g（x）=-2 x -n（x-1）， ∴x∈（-∞，0），-x∈（0，+∞）， g（-x）=-2 -x -n（-x-1）=2-g（x）， 2-g（x）=-2 -x -n（-x-1）， ∴g（x）=2 -x -n（x+1）+2，x∈（-∞，0）．（6分） （3）∵对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）+tf（t）＞0， -tf（t）=-（t 2 +t+1）＜-1， ∴g（x）≥-1-----（8分） ∵y=2 -x 与y=-n（x+1）（n＞0）单调递减； ∴g（x）=2 -x -n（x+1）+2，在x∈（-∞，0）上单调递减；（10分） ∴g（0）≥-1，∴2+1-n≥-1， 又∵n＞0，∴0＜n≤4．（12分）