Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△A

如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF．连接AD．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形，为什么？

Answer 1

（1）证明：Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到的， ∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD=DC=AC， 又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到的， ∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°， ∵∠ACB=∠ACD=60°， ∴△AFC是等边三角形， ∴AF=FC=AC， ∴AD=DC=FC=AF， ∴四边形AFCD是菱形； （2）四边形ABCG是矩形． 证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形， △ACB △AFB， ∴∠EDC=∠BAC= ∠FAC=30°， 且△ABC为直角三角形， ∴BC= AC， ∵EC=CB， ∴EC= AC， ∴E为AC中点， ∴DE⊥AC， ∴AE=EC， ∵AG∥BC， ∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC， ∴△AEG △CEB， ∴AG=BC， ∴四边形ABCG是平行四边形，而∠ABC=90°， ∴四边形ABCG是矩形．