Question

已知函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-23，（1）

已知函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-23，（1）求证：f（x）是R上的奇函数．（2）求证f（x）在R上是减函数．（3）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）+f（y）=f（x+y），
∴令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
再令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴y=f（x）是R上的奇函数；
（2）令x₁＜x₂，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），且y=f（x）是R上的奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）是R上的减函数；
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），
∵f（1）=-

2

3

，
∴f（3）=3f（1）=3×（-

2

3

）=-2，
又y=f（x）是R上的奇函数，
∴f（-3）=-f（3）=2，
∵y=f（x）是R上的减函数，
∴y=f（x）在[-3，3]上单调递减，
∴当x=-3时，f（x）取得最大值f（-3）=2，
当x=3时，f（x）取得最小值f（3）=-2，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2．