Question

2010年全国高中数学联合竞赛高二预赛试题(湖北赛区)中的一道题，速度快的加分

题目见图片，在线等，答案3+2√2，求过程

Answer 1

s=(z+1)^2/2xyz 由轮换对称性知 s=(x+1)^2/2xyz s=(y+1)^2/2xyz
即s=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2/6xyz=(2+x+y+z)/3xyz
又 x+y+z>3xyz^1/3=√3 xyz<((x^2+y^2+z^2)/3)^3/2=1/3√3 都在x=y=z=1/√3时成立

所以S>(2+√3)/√3=3+2√2

Answer 2

解法前面两个已经讲的很清楚了，我就不说了，主要讲一下错位想减的原理和用法：
在数列求和时，若是通项公式是一个等差乘以一个等比的话，那就用错位相减。所谓错位相减，就是第一排式子照写，第二排就全部乘以一个公比。且要空一格，即把位子给错开，再两式相减，减出来有一部分就是一个等差或等比数列，这时就可以用公式带出来，再整理整理就可以了。
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
数列求和还有一些其它的解法，包括错位相加法，分组法，裂项法求和
，倒序相加法求和等等，只有学会活用这些方法才能学好数列。

Answer 3

解法前面两个已经讲的很清楚了，我就不说了，主要讲一下错位想减的原理和用法：
在数列求和时，若是通项公式是一个等差乘以一个等比的话，那就用错位相减。所谓错位相减，就是第一排式子照写，第二排就全部乘以一个公比。且要空一格，即把位子给错开，再两式相减，减出来有一部分就是一个等差或等比数列，这时就可以用公式带出来，再整理整理就可以了。
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
数列求和还有一些其它的解法，包括错位相加法，分组法，裂项法求和
，倒序相加法求和等等，只有学会活用这些方法才能学好数列。