Question

已知函数f(x)＝x+ax且f（1）=5．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用单调性

已知函数f(x)＝x+ax且f（1）=5．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

（1）∵f（1）=1+a=5 
∴a=4．
（2）f(x)＝x+

4

x

在（2，+∞）上是增函数．
证明：设2＜x₁＜x₂，f(x1)?f(x2)＝(x1+

4

x1

)?(x2+

4

x2

)=(x1?x2)+

4(x2?x1)

x1x2

=(x1?x2)(1?

4

x1x2

)，
∵x₁＞2，x₂＞2，∴x₁x₂＞4，∴0＜

1

x1x2

＜

1

4

，∴0＜

4

x1x2

＜1，
∴1?

4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（2，+∞）上为增函数．