Question

操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过B

操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过B点，另一边与射线DC相交于点Q．设AP=x．（1）当Q点在CD上时，线段PQ与线段PB的大小关系怎样？并证明你的结论；（2）当Q在CD上时，设四边形PBCQ面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动，且Q在DC延长线上时，△PCQ能否为等腰三角形？若能，求出x的值；若不能，说明理由．

Answer 1

（1）结论：PQ=PB．
证明：如图1，过点P作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
又∵PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，
∴PE=PF，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠2+∠EPQ=90°，
又∵∠1+∠EPQ=∠BPQ=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△BPE和△QPF中，

∠1＝∠2 PE＝PF ∠PEB＝∠PFQ

，
∴△BPE≌△QPF（ASA），
∴PB=PQ；

（2）解：∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
又∵PE=PF，
∴四边形PECF是正方形，
∵正方形ABCD，AB=1，
∴AC=

2

，
∵AP=x，
∴PC=

2

-x，
由（1）知△BPE≌△QPF，
∴S_△BPE=S_△QPF，
∴S_{四边形PBCQ=}S_{正方形PECF}，
∴S_{四边形PBCQ}=

1

2

PC²=

1

2

（

2

-x）²=

1

2

x²-

2

x+1，
即y=

1

2

x²-

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