Question

如图1，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若A（-32，n）、B

如图1，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若A（-32，n）、B（1，1），求直线m的解析式；（2）若P（-2，t），当PA=AB时，求点A的坐标；（3）无论点P在l上移动到何处，是否总可以找到这样的直线，使得PA=AB？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵A（-

3

2

，n），
∴n=（-

3

2

）²=

9

4

，
∴A（-

3

2

，

9

4

），
将A（-

3

2

，

9

4

），B（1，1）代入y=kx+b得：

k+b＝1 ? 3 2 k+b＝ 9 4

，
解得：

k＝? 1 2 b＝ 3 2

故直线m的解析式为：y＝?

1

2

x+

3

2

；

（2）∵点P（-2，t）在直线y=-2x-2上，
∴t=2，∴P（-2，2）．
设A（m，m²），如图1所示，分别过点P、A、B
作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=

1

2

（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=2+m，EO=-m，
∴OF=|2+m-（-m）|=|2+2m|，
∴OF=2m+2，
∵AE=

1

2

（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²-2，
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=1或-3，
当m=-1时，m²=1；当m=-3时，m²=9
故点A的坐标为（-1，1）或