Question

如图①，已知抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物

如图①，已知抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N，问在对称轴上是否存在点P，使△CNP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图②，若点E为第三象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

（1）如图①，
∵y=ax²+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），
∴

0＝a+b?3 0＝9a?3b?3

，
解得

a＝1 b＝2

，
∴y=x²+2x-3．

（2）∵y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）²-4，
∴N（-1，0），
∴ON=1．
∴当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）
∴OC=3．
∴在Rt△CON中由勾股定理，得
CN=

10

当P₁N=P₁C时，△P₁NC是等腰三角形，作P₁H⊥CN，
∴NH=

10

2

，△P₁HN∽△NOC，
∴

NH

OC

＝

NP1

CN

，
∴

10 2

3

＝