Question

（2003?天津）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC

（2003?天津）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．

Answer 1

（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，
即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连接EF、FC，
∵D，E分别是CC₁，A₁B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，
G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，
EF²=FG?FD=

1

3

FD²，
∵EF=1，∴FD=

3

．
于是ED=

2

，EG=

1×  2

3

＝ 

6

3

∵FC=

2

，CD=1
∴AB=2

2

，A₁B=2

3

，EB=

3

，
∴A₁B与平面ABD所成的角是arcsin

2

3

；

（Ⅱ）连接A₁D，有VA1?AED＝VD?AA1E
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A₁AB，设A₁到平面AED的距离为h，
则S△AED?h＝S△A1AB?ED，
S△A1  AE  ＝

1

2

S△A1  AB  ＝

1

4

A1  A?AB＝

2

，
S△AED ＝

1

2

AE?ED＝

6

2

．
∴h＝

2 × 2

6 2

＝

2 6

3

，
即A₁到平面AED的距离为

2 6

3

．