Question

已知x、y满足条件：7x?5y?23≤0x+7y?11≤04x+y+10≥0求：（1）4x-3y的最大值和最小值；（2）x2+y2的最大

已知x、y满足条件：7x?5y?23≤0x+7y?11≤04x+y+10≥0求：（1）4x-3y的最大值和最小值；（2）x2+y2的最大值和最小值．

Answer 1

（1）不等式组

7x?5y?23≤0 x+7y?11≤0 4x+y+10≥0

表示的公共区域如图所示：
其中A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2），
设z=4x-3y，则y=

4

3

x?

z

3

，平移直线y=

4

3

x?

z

3

，
由图象可知当直线y=

4

3

x?

z

3

过C点时，直线y=

4

3

x?

z

3

的截距最大，此时z取得最小值．
当直线y=

4

3

x?

z

3

过B直线y=

4

3

x?

z

3

的截距最小，z取得最大值．．
∴将B（-1，-6），代入z=4x-3y得最大值z=4×（-1）-3×（-6）=14，
将C（-3，2），代入z=4x-3y得最小值，
即z的最小值z=4×（-3）-3×2=-18．
（2）设z=x²+y²，则z的几何意义为平面区域内的点到原点距离的平方的取值范围．
由图象可知z的最小值为0，C点到原点的距离为OC=

(?3)2+22

＝

9+4

＝

13

，
A点到原点的距离OA=

42+1

＝

17

，B点到原点的距离为OB=

(?1)2+(?6)2

＝

37

，
∴B点距离原点远，
∴0≤z≤OA²，即0≤z≤37，
即x²+y²的最大值为37，最小值为0．