Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x+mx2+nx+1．（1）求m，n的值；（2）用定义证明f（x）在（-1，

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x+mx2+nx+1．（1）求m，n的值；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上为增函数；（3）若f（x）≤a3对x∈[?13，13]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

∵x∈R，f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
得m=0
（1）因f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=

x+m

x2+nx+1

．
所以f（-1）=-f（1），
解得n=0，
∴m=n=0
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)?f(x2)＝

x1

x12+1

?

x2

x22+1

=

x1(x22+1)?x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x1x22?x2x12)+(x1?x2)

(x12+1)(x22+1)

=

(x1?x2)+(1?x1x2)

(x12+1)(x22+1)

∵-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1
∴-1＜x₁x₂＜1∴1-x₁x₂＞0
又x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）（8分）
∴f（x）在（-1，1）上单调递增
（3）∵∴f（x）在[-

1

3

，

1

3

]上的最大值为f（

1

3

）=

3

10

，
∴

a

3

≥

3

10

，
∴a≥

9

10

．