Question

（1）问题背景如图①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线

（1）问题背景如图①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E，CE交直线BA于M．探究线段BD与CE的数量关系得到的结论是______．（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为△ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）拓展延伸在（2）中，如果AB=12AC，其他条件均不变（如图③），请直接写出BD与CE的数量关系为______．

Answer 1

解答：（1）解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BME和△BCE中，

∠ABD＝∠CBD BE＝BE ∠BEM＝∠BEC

，
∴△BME≌△BCE（ASA），
∴CE=ME，
∵CE⊥BD，∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠M=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ADB=∠M，
∴sin∠ADB=sin∠M，
即

AB

BD

=

AC

CM

，
∵AB=AC，
∴BD=CM，
∴BD=2CE；

（2）结论BD=2CE仍然成立．
证明：∵BD是∠ABF的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
在△CBE和△MBE中，

∠3＝∠4 BE＝BE ∠CEB＝∠MEB＝90°

，
∴△CBE≌△MBE（ASA），
∴CE=ME，
∴CM=2CE，
∵∠D+∠DCM=∠M+∠DCM=90°．
∴∠D=∠M，
∴sin∠D=sin∠M，
∴

AB

BD

=

AC

CM

，
∵AB=AC，
∴BD=CM=2CE；

（3）解：同（2）可得

AB

BD

=

AC

CM

，
∵AB=

1

2

AC，
∴BD=

1

2

CM，
∴BD=CE．
故答案为：（1）BD=2CE；（3）BD=CE．