Question

△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，CH⊥EF于H，连接DH，求证

（1）EH=FH （2）∠CAB=2∠CDH

Answer 1

①证明：

∵∠ACB=90°

∴∠CEA+∠CAE=90°

∵CD⊥AB

∴∠AFD+∠BAE=90°

∵AE平分∠CAB

∴∠CAE=∠BAE

∴∠CEA=∠AFD=∠CFE

∴CE=CF

∵CH⊥EF

∴EH=FH（三线合一）

②证明：

延长CH交AB于M。

∵∠CAH=∠MAH，AH=AH，∠AHC=∠AHM=90°

∴△AHC≌△AHM（ASA）

∴CH=MH

∵∠CDM=90°

∴DH=1/2CM=CH（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∴∠CDH=∠DCH

∵∠DAF和∠AFD互余

   ∠DCH和∠CFH互余

   ∠AFD=∠CFH

∴∠DAF=∠DCH=∠CDH

∵∠BAC=2∠DAF

∴∠BAC=2∠CDH