Question

高中数学题，圆锥曲线的，求解。

Answer 1

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Answer 2

e^2 = c^2/a^2 = (a^2+b^2)/a^2 = 4 ，---------（1）
C 坐标代入得 4/a^2 - 3/b^2 =1 ，---------（2）
解得 a^2 = 3，b^2 = 9 ，因此双曲线方程为 x^2/3 - y^2/9 = 1 ，
所以 D1（0，-3），D2（0，3），
设 L 方程为 y = kx-3 ，代入双曲线方程得 x^2/3 - (kx-3)^2/9 = 1 ，
化简得 (3-k^2)x^2+6kx-18 = 0 ，设 M（x1，y1），N（x2，y2），
则 x1+x2 = 6k/(k^2-3) ，x1*x2 = 18/(k^2-3) ，
因此 y1+y2 = k(x1+x2)-6 = 18/(k^2-3) ，y1*y2 = k^2*x1x2-3k(x1+x2)+9=9，
由 D2M丄D2N 得向量 D2M*D2N = 0 ，
即 x1x2 + (y1-3)(y2-3) = 0 ，
所以 x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0 ，
因此 18/(k^2-3)+9-54/(k^2-3)+9=0，
解得 k = ±√5 ，
因此所求直线 L 的方程为 y = -√5*x-3 或 y = √5*x-3 。