Question

如图，0是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD,上的点，且AE=BF=CG=DH

（1）求证：四边形EFGH是矩形
（2）若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，且DG垂直于AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积

Answer 1

（1）ABCD是矩形，所以OA=OC，OB=OD
OE=OA-AE，OG=OC-CG
因为AE=CG
所以OE=OG
OF=OB-OD，OH=OD-DH
因为BF=DH
所以OF=OH
四边形EFGH对角线互相平分，所以是平行四边形
因为ABCD是矩形，所以AC=BD
EG=AC-AE-CG
FH=BD-BF-DH
所以EG=FH
平行四边形EFGH对角线相等，因此是矩形
（2）F是OC中点，DF为三角形OCD中线
又DF⊥OC，所以三角形OCD是等腰三角形，OD=CD
ABCD是矩形，AC=BD
OC=AC/2，OD=BD/2
所以OC=OD
因此三角形OCD是等边三角形
OC=2OF=4，所以CD=OD=4。AC=2OC=8
根据勾股定理，AD=4√3
S矩形ABCD=CD×AD=4×4√3=16√3

Answer 2

因为AE=BF,OA=OB所以OE/OA=OF/OB;EF//AB同理可证FG//BC,HG//AC,EH//AD.
又因为AD垂直AB,所以EH垂直AB,EH垂直EF,同理可证EF垂直FG,FG垂直GH,GH垂直DC
所以EFGH是矩形