Question

求定积分方法的定义法的适用范围

Answer 1

分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。

不定积分（Indefinite integral）

即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分 （definite integral）

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
概念
定积分

定积分
是一个和式的极限：把区间[a，b]分成n个小区间

定积分
，…，

定积分
，…，

定积分
，然后在每个小区间

定积分
上任取一点

定积分
，作和式

定积分
；令

定积分
，如果当

定积分
时，如果和式的极限

定积分
存在，则称这个极限值为函数

定积分
上的定积分。
即

定积分
，因此任何能写成上述和式极限的式子都能用定积分来表示。关键是确定被积函数

定积分
以及积分变量x。
几何意义
定积分

定积分
的几何意义为：它是介于x轴，函数

定积分
的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。若曲线

定积分
与直线x=a，x=b，y=0，所围成的曲边梯形的面积为A，则
(1)当

定积分
时，

定积分
；
(2)当

定积分
时，

定积分
；
(3)当

定积分
在［a，b］上有时取正值，有时取负值时，

定积分

定积分
基本运算
1．用定积分定义计算定积分
步骤：（1）分割；（2）近似代替；（3）求和；（4）取极限
2．比较定积分大小
根据性质：如果在区间［a，b］上，恒有

定积分
，则

定积分
。
因此，关键是比较被积函数的大小。
3．估计定积分的值
根据性质：如果m和M分别是

定积分
在区间［a，b］上，上最小值和最大值，则

定积分
。因此，关键是找出被积函数在积分区间的最小值和最大值。
基本性质
规定 (1) 当a=b时，

定积分
(2) 当a>b时，

定积分
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即

定积分
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即

定积分
（k为常数）
性质3 定积分的区间可加性
若a

定积分
性质4

定积分
因f(x)≡1，所以

定积分
性质5 若在区间[a，b]上，

定积分
则

定积分
。
性质6 设M及m分别是

定积分
在［a，b］上的最大值及最小值，则

定积分
牛顿—莱布尼茨公式
若函数

定积分
在［a，b］连续，且F（x）为

定积分
在区间［a，b］的原函数，则

定积分
由微分中值定理：

定积分
，使得

定积分

定积分
几何意义:
设

定积分
在［a，b］上连续。存在一点

定积分
，使曲边梯形的面积

定积分
与矩形面积

定积分
相等。
由积分第一中值定理：若

定积分
在［a，b］上连续，则

定积分
在［a，b］可取到其在［a，b］的平均值。