求定积分方法的定义法的适用范围
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分划的参数趋于零时的极限,叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。
不定积分(Indefinite integral)
即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x),那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数。
定积分 (definite integral)
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。
概念
定积分
定积分
是一个和式的极限:把区间[a,b]分成n个小区间
定积分
,…,
定积分
,…,
定积分
,然后在每个小区间
定积分
上任取一点
定积分
,作和式
定积分
;令
定积分
,如果当
定积分
时,如果和式的极限
定积分
存在,则称这个极限值为函数
定积分
上的定积分。
即
定积分
,因此任何能写成上述和式极限的式子都能用定积分来表示。关键是确定被积函数
定积分
以及积分变量x。
几何意义
定积分
定积分
的几何意义为:它是介于x轴,函数
定积分
的图形及两条直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和。若曲线
定积分
与直线x=a,x=b,y=0,所围成的曲边梯形的面积为A,则
(1)当
定积分
时,
定积分
;
(2)当
定积分
时,
定积分
;
(3)当
定积分
在[a,b]上有时取正值,有时取负值时,
定积分
定积分
基本运算
1.用定积分定义计算定积分
步骤:(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限
2.比较定积分大小
根据性质:如果在区间[a,b]上,恒有
定积分
,则
定积分
。
因此,关键是比较被积函数的大小。
3.估计定积分的值
根据性质:如果m和M分别是
定积分
在区间[a,b]上,上最小值和最大值,则
定积分
。因此,关键是找出被积函数在积分区间的最小值和最大值。
基本性质
规定 (1) 当a=b时,
定积分
(2) 当a>b时,
定积分
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即
定积分
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即
定积分
(k为常数)
性质3 定积分的区间可加性
若a
定积分
性质4
定积分
因f(x)≡1,所以
定积分
性质5 若在区间[a,b]上,
定积分
则
定积分
。
性质6 设M及m分别是
定积分
在[a,b]上的最大值及最小值,则
定积分
牛顿—莱布尼茨公式
若函数
定积分
在[a,b]连续,且F(x)为
定积分
在区间[a,b]的原函数,则
定积分
由微分中值定理:
定积分
,使得
定积分
定积分
几何意义:
设
定积分
在[a,b]上连续。存在一点
定积分
,使曲边梯形的面积
定积分
与矩形面积
定积分
相等。
由积分第一中值定理:若
定积分
在[a,b]上连续,则
定积分
在[a,b]可取到其在[a,b]的平均值。
不定积分(Indefinite integral)
即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x),那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数。
定积分 (definite integral)
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。
概念
定积分
定积分
是一个和式的极限:把区间[a,b]分成n个小区间
定积分
,…,
定积分
,…,
定积分
,然后在每个小区间
定积分
上任取一点
定积分
,作和式
定积分
;令
定积分
,如果当
定积分
时,如果和式的极限
定积分
存在,则称这个极限值为函数
定积分
上的定积分。
即
定积分
,因此任何能写成上述和式极限的式子都能用定积分来表示。关键是确定被积函数
定积分
以及积分变量x。
几何意义
定积分
定积分
的几何意义为:它是介于x轴,函数
定积分
的图形及两条直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和。若曲线
定积分
与直线x=a,x=b,y=0,所围成的曲边梯形的面积为A,则
(1)当
定积分
时,
定积分
;
(2)当
定积分
时,
定积分
;
(3)当
定积分
在[a,b]上有时取正值,有时取负值时,
定积分
定积分
基本运算
1.用定积分定义计算定积分
步骤:(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限
2.比较定积分大小
根据性质:如果在区间[a,b]上,恒有
定积分
,则
定积分
。
因此,关键是比较被积函数的大小。
3.估计定积分的值
根据性质:如果m和M分别是
定积分
在区间[a,b]上,上最小值和最大值,则
定积分
。因此,关键是找出被积函数在积分区间的最小值和最大值。
基本性质
规定 (1) 当a=b时,
定积分
(2) 当a>b时,
定积分
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即
定积分
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即
定积分
(k为常数)
性质3 定积分的区间可加性
若a
定积分
性质4
定积分
因f(x)≡1,所以
定积分
性质5 若在区间[a,b]上,
定积分
则
定积分
。
性质6 设M及m分别是
定积分
在[a,b]上的最大值及最小值,则
定积分
牛顿—莱布尼茨公式
若函数
定积分
在[a,b]连续,且F(x)为
定积分
在区间[a,b]的原函数,则
定积分
由微分中值定理:
定积分
,使得
定积分
定积分
几何意义:
设
定积分
在[a,b]上连续。存在一点
定积分
,使曲边梯形的面积
定积分
与矩形面积
定积分
相等。
由积分第一中值定理:若
定积分
在[a,b]上连续,则
定积分
在[a,b]可取到其在[a,b]的平均值。
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