Question

已知数列{an},其中a1=1,an=3^(n-1)·an-1(n≥2,n∈N*),求an通项公式

Answer 1

因为a1=1,an=3^(n-1)·a(n-1)(n≥2,n∈N*)
显然an＞0
故lnan=ln[3^(n-1)·a(n-1)]=ln3^(n-1)+lna(n-1)=lna(n-1)+(n-1)ln3

所以lnan-lna(n-1)=(n-1)ln3

故lna2-lna1=ln2
lna3-lna2=2ln3
lna4-lna3=3ln3
....
lnan-lna(n-1)=(n-1)ln3
叠加得
lnan-lna1=[1+2+...+(n-1)]ln3=[n(n-1)/2]ln3
所以
lnan=[n(n-1)/2]ln3+lna1=[n(n-1)/2]ln3+ln1=[n(n-1)/2]ln3=ln[3^[n(n-1)/2]]

故an=3^[n(n-1)/2]

追问

一定要用lnan吗

追答

你按1楼的方法也行，不过他最后一步出了点错。

Answer 2

an=3^(n-1)an-1
an-1=3^(n-2)an-2
..
a2=3*a1
a1=1
an=3^[1+2+..+(n-2)+(n-1)]=3^(n^2/2)