Question

如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E 是BC的中点，F是对角线BD上的一个动点，请你求出EF+FC的最小值

Answer 1

如图，以菱形ABCD对角线交点为原点O，以BD为x轴建立坐标系

∵∠ABC=60°,AB=2，∴△ABC为等边△，AC=BC=AB=2

易知：AO=OC＝AC/2=1，BO=OD=√（4－1）＝√3（根号3）

可得B、E、C的坐标为B(-√3,0)，E（-√3/2,-1/2），C（0，-1）

令F点的坐标为F（x，y），则：

FE ＾2 =(x+√3/2）＾2+（y+1/2）＾2；FC ＾2 =(x-0）＾2+（y+1）＾2

FE ＾2 +FC ＾2=(x+√3/2）＾2+（y+1/2）＾2+x＾2+（y+1）＾2=2x＾2+√3x+2y＾2+3y+2

＝（√2x+√3/ √8）＾2-3/8+（√2y+3/√8）＾2-9/8+2

=（√2x+√3/ √8）＾2+（√2y+3/√8）＾2+1/2

可见，当x＝-√3/ 4，y＝-3/4时，FE ＾2 +FC ＾2有最小值1/2,易知，EF+FC亦有最小值，

故把x＝-√3/ 4，y＝-3/4代入前式整理后可得：

EF+FC＝1/2+√3/ 2=(1+√3）/ 2

Answer 2

应该是当FE⊥BC时为最小，
当FE⊥BC时，BE=CE, 所以△BFC为等腰三角形，FC=BF
∠CBF=1/2*∠ABC=1/2*60°=30°,
所以FC=BF=2EF
在直角三角形BEF中，BF^2-EF^2=BE^2
BE=1/2BC=1/2AB=1/2*2=1
则（2EF)^2-EF^2=1
解之得EF=√3/3
则FC=2√3/3
EF+FC=√3/3+2√3/3=√3

Answer 3

2