Question

如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD交于O,AC+BD=q，求菱形ABCD的面积

Answer 1

如图，菱形ABCD的周长为2p,对角线AC、BD交于O，AC+BD=q，求菱形ABCD的面积.（提示：利用两数和的平方公式（a+b）^2=a^2+2ab+b^2与勾股定理） 因为ABCD为菱形，所以：AB=BC=CD=DA=(2p)/4=p/2 且，AC+BD=q 所以，AO+DO=(AC+BD)/2=q/2 又，AO⊥DO 令A0=x，BD=y，则：x+y=q/2 根据勾股定理有： x^2+y^2=AO^2+DO^2=AD^2=(p/2)^2=p^2/4 ===> (x+y)^2-2xy=x^2+y^2=p^2/4 ===> (q/2)^2-2xy=p^2/4 ===> 2xy=(q^2-p^2)/4 ===> xy=(q^2-p^2)/8 而，菱形ABCD的面积=AC*BD=(2x)*(2y)=4xy ===> 菱形ABCD面积=4*[(q^2-p^2)/8]=(q^2-p^2)/2

Answer 2

菱形ABCD边长=2p/4=p/2
AC=c
BD=d
根据勾股定理
(c/2)²+(d/2)²=(p/2)²
c+d=q
菱形ABCD的面积=cd/2=(q²-p²)/4

Answer 3

令AC与BD的交点为O。
∵ABCD是菱形，∴AO＋BO＝（AC＋BD）/2＝q/2、AO⊥BO。
由勾股定理，有：AO^2＋BO^2＝AB^2＝（2P/4）^2＝P^2/4。
∴（AO＋BO）^2－2AO×BO＝P^2/4，　∴（q/2）^2－2AO×BO＝P^2/4，
∴2AO×BO＝（q^2－P^2）/4。
∵ABCD是菱形，∴ABCD的面积＝4△OBC的面积＝4×（1/2）AO×BO＝（q^2－P^2）/4。