Question

如图，⊙O的直径EF= cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB= cm．E、F、A、B四点共线。Rt△ABC以1

如图，⊙O的直径EF= cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB= cm．E、F、A、B四点共线。Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t (s)，当t=0s时，点B与点F重合。（1） 当t为何值时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切？ （2） 当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）。

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Answer 1

解：（1）∵ ∠BAC=30°，AB=  ∴ BC=  又 ∵ ⊙O的直径EF= ，即半径为   ∠ACB=90° ∴ 当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切（如图1所示） 此时运动距离为FO=   ∴ t= s 当BC边与⊙O相切时(如图2所示)，设切点为G 连结OG，则OG⊥BC 由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG= ∴   又FO=   ∴ BF=   ∴ 此时 s 由上所述，当 秒时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切 （2）由图1，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF 由已知，∠COF=60°， ∴ 由图2，设AC与⊙O交于点M 此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM 过点M作MN⊥OG于N，则MN=GC 由（1）可知BG=1 则MN=GC= ∴ ∴ ∠MON=25°，即∠MOE=55° ∴ 又∵ OM= ∴ 点M到AB的距离 ∵OA=OF-AF，OF= ，AF=BF-AB=2- ∴OA=1.464 此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为