Question

设命题p：|4x-3|≤1，命题q：x 2 -（2a+1）x+a（a+1）≤0，若“￢p?￢q”为假命题，“￢q?￢p”为真命题

设命题p：|4x-3|≤1，命题q：x 2 -（2a+1）x+a（a+1）≤0，若“￢p?￢q”为假命题，“￢q?￢p”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

由|4x-3|≤1，得：-1≤4x-3≤1，解得： 1 2 ≤x≤1 ， 因此，满足命题p的x的取值集合为{x| 1 2 ≤x≤1 }，则满足命题￢p的x的取值集合为{x| x＜ 1 2 ，或x＞1}； 由x 2 -（2a+1）x+a（a+1）≤0，得：（x-a）[x-（a+1）]≤0，解得：a≤x≤a+1． 因此，满足命题q的x的取值集合为{x|a≤x≤a+1}，则满足命题￢q的x的取值集合为{x|x＜a，或x＞a+1}； 由“￢p?￢q”为假命题，“￢q?￢p”为真命题， 得，{x|x＜a，或x＞a+1}?{x| x＜ 1 2 ，或x＞1}． 因此 a≤ 1 2 a+1≥1 ，解得 a∈[0， 1 2 ] ． 所以，所求实数a的取值范围是 [0， 1 2 ] ．