如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．AD=AB=2BC，四边形ABEF为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ
如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．AD=AB=2BC，四边形ABEF为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）C、D、E、F四点共面吗？证明你的结论...
如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．AD=AB=2BC，四边形ABEF为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）C、D、E、F四点共面吗？证明你的结论；（Ⅱ）设AF=kAB（0＜k＜1），二面角A-FD-B的余弦值为13，求实数k的值．
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解法一：（Ⅰ）C、D、E、F四点不共面．
证明：假设C、D、E、F四点共面．
因为EF∥AB，AB?平面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，
因为EF?平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，所以EF∥CD，
又EF∥AB，所以AB∥CD，这与已知矛盾．
所以假设不成立，因此C、D、E、F四点不共面．------（6分）
（Ⅱ）因为平面ABEF⊥平面ABCD，且AF⊥AB，所以AF⊥平面ABCD，
所以平面AFD⊥平面ABCD．
△ABD为正三角形，连接BM，则BM⊥AD，所以BM⊥平面ADF．
作MT⊥FD于T，连接BT，则由三垂线逆定理可知BT⊥FD，所以∠MTB就是所求二面角的平面角．---------（9分）
不妨设AB=2，则BM＝
| 3 |
由于cos∠MTB＝
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 4 |
由△DMT∽△DFA，可得
| AF |
| MT |
| FD |
| MD |
| ||
| MD |
2
| ||
| 5 |
| AF |
| AB |
|
