Question

如图，光滑半圆形轨道半径为R，水平面粗糙，弹簧自由端D与轨道最低点C距离为4R，一质量为m的可视为质点的

如图，光滑半圆形轨道半径为R，水平面粗糙，弹簧自由端D与轨道最低点C距离为4R，一质量为m的可视为质点的小物块自圆轨道中点B由静止释放，压缩弹簧后被弹回到D点恰好静止．已知物块与水平面的动摩擦因数为0.2：重力加速度为g，弹簧始终处在弹性限度内，求：（1）弹簧的最大压缩量和最大弹性势能（2）现把D点右侧水平地面打磨光滑，且已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，使小物块压缩弹簧，释放后能通过半圆轨道最高点A，压缩量至少是多少？

Answer 1

（1）设最大压缩量为x，最大弹性势能为E_P，由动能定理得
 mgR-μmg（4R+2x）=0          ①
得  x=0.5R                  ②
返回过程弹性势能全部转化为摩擦产生的内能 E_P=μmgx           ③
得    E_P=0.1mgR              ④
故弹簧的最大压缩量为0.5R，最大弹性势能为0.1mgR．
（2）设压缩量至少为x′，相应的弹性势能为E_P′
  

EP′

EP

＝

x′2

x2

                        ⑤
  mg=m

vA2

R

                       ⑥
EP′?μmg?4R?mg?2R＝

1

2

mvA2      ⑦
联立⑤⑥⑦解得  x′＝

33

2

R          ⑧
故压缩量至少是

33

2

R．