Question

已知数列{an}满足a1=3，an?an-1=2an-1-1（1）求a2，a3，a4；（2）求证：数列{1an?1}是等差数列，并求出{a

已知数列{an}满足a1=3，an?an-1=2an-1-1（1）求a2，a3，a4；（2）求证：数列{1an?1}是等差数列，并求出{an}的通项公式．

Answer 1

（1）解：∵a_n?a_n-1=2a_n-1-1，a₁=3
∴a₂a₁=2a₁-1，∴a2＝

5

3

同理a3＝

7

5

，a4＝

9

7

___________________________（3分）
（2）证明：易知a_n-1≠0，所以an＝2?

1

an?1

_____________________（4分）
当n≥2时，

1

an?1

?

1

an?1?1

＝

1

(2? 1 an?1 )?1

?

1

an?1?1

=

1

1? 1 an?1

?

1

an?1?1

=

an?1

an?1?1

?

1

an?1?1

=1
所以数列{

1

an?1

}是以

1

2

为首项，1为公差的等差数列_________（8分）
（3）解：由（2）知

1

an?1

＝

1

2

+(n?1)?1＝n?

1

2

__________________（10分）
所以an＝

2

2n?1

+1＝

2n+1

2n?1

__________________________（12分）