Question

已知抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴交于不同的两个点A（x1，0）和点B（x2，0）与y轴的正半轴交于点C，如

已知抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴交于不同的两个点A（x1，0）和点B（x2，0）与y轴的正半轴交于点C，如果x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2），且图象经过点（2，3）（1）求抛物线的解析式并画出图象（2）x在什么范围内函数值y大于3且随x的增大而增大．（3）设（1）中的抛物线顶点为D，在y轴上是否存在点P，使得DP+BP的和最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设函数解析式为y=a（x²-2x-3），
把点（2，3）代入y=a（x²-2x-3）得，a（2²-2×2-3）=3，
解得a=-1，
故函数解析式为y=-x²+2x+3，
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
故函数与x轴的交点坐标为A（-1，0）和点B（3，0），
当x=0时，y=-3，函数与y轴的交点为（0，-3），
又因为函数图象对称轴为x=-

2

2×(?1)

=1，
将x=1代入解析式得，y=-1+2+3=4，
则函数顶点坐标为（1，4）．如图：

（2）由图可知，0＜x＜1时，y大于3且随x的增大而增大．

（3）作B关于y轴的对称点B′则B′坐标为（-3，0），连接DB′，
设DB′的解析式为y=kx+b，
将（1，4），（-3，0）分别代入解析式得，

k+b＝4 ?3k+b＝0

，
解得

k＝1 b＝3

，
则函数解析式为y=x+3．
当x=0时，y=3，
则P点坐标为（0，3）．