已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动；点Q由A出发沿AC
已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动；连接PQ．若设BP=x...
已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动；连接PQ．若设BP=x cm，AQ=2x cm（0＜x＜2），解答下列问题：（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（ cm2），求y与x之间的函数关系式；（3）是否存在x的值，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
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（1）在Rt△ABC中，AB=
=5，
由题意知：AP=5-x，AQ=2x，
若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
解得：x=
．
故当x=
秒时，PQ∥BC；
（2）如图，过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
∴PH=3-
x，
∴△AQP的面积为：
y=
×AQ×PH
=
×2x×（3-
x）
=-
x2+3x，
即y=-
x2+3x；
（2）存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，理由为：
假设存在某时刻x，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
有S△AQP=
S△ABC，而S△ABC=
AC?BC=6（cm2），
则此时S△AQP=3（cm2），-
x2+3x=3，
化简得：x2-5x+5=0，
∵△=（-5）2-4×1×5=5，
∴x=
| BC2+AC2 |
由题意知：AP=5-x，AQ=2x，
若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴
| AQ |
| AC |
| AP |
| AB |
∴
| 2x |
| 4 |
| 5?x |
| 5 |
解得：x=
| 10 |
| 7 |
故当x=
| 10 |
| 7 |
（2）如图，过点P作PH⊥AC于H．∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴
| PH |
| BC |
| AP |
| AB |
∴
| PH |
| 3 |
| 5?x |
| 5 |
∴PH=3-
| 3 |
| 5 |
∴△AQP的面积为：
y=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
=-
| 3 |
| 5 |
即y=-
| 3 |
| 5 |
（2）存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，理由为：假设存在某时刻x，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
有S△AQP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
则此时S△AQP=3（cm2），-
| 3 |
| 5 |
化简得：x2-5x+5=0，
∵△=（-5）2-4×1×5=5，
∴x=
5±
|
