Question

设X，Y是两个相互独立且服从正态分布N（0，1）的随机变量，则随机变量Z=max（X，Y）的数学期望EZ=______

设X，Y是两个相互独立且服从正态分布N（0，1）的随机变量，则随机变量Z=max（X，Y）的数学期望EZ=______．

Answer 1

主要是因为在讨论max(x,y)时，有丨y丨≥x，或者丨x丨≥y两种可能，而且均以y=±x分界。换成极坐标时，出现极角在[-π/4,3π/4]及[π/4,5π/4]的区间。

因为正态分布函数N(μ，δ^2)/N（0，1）的定义域是x∈（-∞，+∞），故，用绝对值“改换”了表达方式，如同“丨x丨≤1”与“-1≤x≤1”本质上一样，仅“马甲不同而已”。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

参考资料来源：百度百科--正态分布

Answer 2

令μ=0，σ=1就行，详情如图所示

Answer 3

因为X，Y是两个相互独立且服从正态分布N（0，1）的随机变量，
所以（X，Y）的联合密度函数为：
f（x，y）=f_X（x）f_Y（y）=

1

2π

e?

x2+y2

2

．
利用数学期望的计算公式可得，
EZ=E[max（X，Y）]
=

∫

+∞ ?∞

dx

∫

+∞ ?∞

max(x，y)f(x，y)dy
=

∫

π 4 ? 3 4

dθ

∫

+∞ 0

rcosθ?

1

2π

e?

1

2

r2rdr+

∫

5π 4 π 4

dθ

∫

+∞ 0

rsinθ?

1

2π

e?

1

2

r2rdr
=

2

π

∫

+∞ 0

r2e?

1

2

r2dr．
令t＝

1

2

r2，
则EZ=

2

π

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