Question

（1）已知△ABC中，AE为角平分线，D为AE上一点，且∠BDE=∠CDE，求证：AB=AC；（2）若把（1）中“AE角平

（1）已知△ABC中，AE为角平分线，D为AE上一点，且∠BDE=∠CDE，求证：AB=AC；（2）若把（1）中“AE角平分线”换为“AE为高线”，其它条件不变，结论还会成立吗？如果成立，请说明；若不成立，也请说明理由．

Answer 1

(1)证明:因为AE是角平分线
所以角BAE=角CAE
因为角BDE=角BAE+角ABD
角CDE=角ACD+角CAE
角BDE=角CDE
所以角ABD=角ACD
因为AD=AD
所以三角形ABD全等三角形ACD (AAS)
所以AB=AC
(2)AB=AC仍然成立
证明：因为AE是高线
所以角AEB=角AEC=90度
因为角BDE=角CDE
DE=DE
所以三角形BDE全等三角形CDE (ASA)
所以BE=CE
因为AE=AE
所以三角形ABE全等三角形ACE (SAS)
所以AB=AC

Answer 2

解答：证明：（1）∵∠BDE=∠CDE，
∴180°-∠BDE=180°-∠CDE，
即：∠ADB=∠ADC．
∵AE为角平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADC（ASA）
∴AB=AC．

（2）仍然成立．理由如下：
∵AE为高线，
∴∠DEB=∠DEC．
又∵DE=DE，∠BDE=∠CDE，
∴△DEB≌△DEC，
∴DB=DC，
又∵∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC．