Question

已知函数f(x)=1/x-log2 1+x/1-x,求该函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。

Answer 1

(1)  f(x)=1/x-log2 [(1+x)/(1-x)]

　　x≠0

　　1+x>0  且 1-x>0   x>-1  且 x<1   ∴-1<x<1

　　或  1+x<0  且 1-x<0   x<-1  且 x>1  无共同部分

　　∴定义域：（-1，0），（0，1）

(2)  ∵f(-x)= -1/x-log2 [(1-x)/(1+x)]=-1/x+log2 [(1+x)/(1-x)]=-f(x)

　　∴ 该函数为奇函数

(3)  ∵在（-1，0），（0，1） 1+x 递增  1-x递减 

　　∴[(1+x)/(1-x)]递增 ， log2 [(1+x)/(1-x)]递增 ，-log2 [(1+x)/(1-x)]递减

　　∵在（-1，0），（0，1） 1/x递减

　　∴函数在（-1，0）和（0，1）递减。参看函数图像

Answer 2

f(x)=1/x,-log2[( 1+x)/(1-x)
分母不为零，x≠0
零和负数无对数，(1+x)/(1-x)＞0，x＜-1，或x
定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。

追答

f(x)=1/x,-log2[( 1+x)/(1-x)
分母不为零，x≠0
零和负数无对数，(1+x)/(1-x)＞0，x＜-1，或x
＞1
∴定义域：
x，并讨论它的奇偶性和单调性。

f(x)=1/x,-log2[( 1+x)/(1-x)
分母不为零，x≠0
零和负数无对数，(1+x)/(1-x)＞0，x＜-1，或x
＞1
∴定义域：
x＜-1，或x＞1

f(x)=1/x-log2[( 1+x)/(1-x)]
f(-x)=1/(x)-log2[( 1-x)/(1+x)]=-f(x)
奇函数

f(x)=1/x-log2[( 1+x)/(1-x)]
=1/x-log2[-1+2/(1-x)]
在定义域内1/x单调减；
在定义域内1-x单调减，2/(1-x)单调增，log2[-1+2/(1-)]单调增
∴在定义域内1/x-log2[-1+2/(1-x)]单调减
即f(x)单调减区间(-∞，-1) U (1，+∞)

f(x)=1/x,-log2[( 1+x)/(1-x)
分母不为零，x≠0
零和负数无对数，(1+x)/(1-x)＞0＜x＜1
∴定义域：
-1＜0＜x，或0＜x＜1

f(x)=1/x-log2[( 1+x)/(1-x)]
f(-x)=1/(x)-log2[( 1-x)/(1+x)]=-f(x)
奇函数

f(x)=1/x-log2[( 1+x)/(1-x)]
=1/x-log2[-1+2/(1-x)]
在定义域内1/x单调减；
在定义域内1-x单调减，2/(1-x)单调增，log2[-1+2/(1-)]单调增
∴在定义域内1/x-log2[-1+2/(1-x)]单调减
即f(x)单调减区间(-1，0) U (0，1)