Question

如图，△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D，点E为AB的中点，求证DE=二分之一BC【请用两种方法】

Answer 1

在AC上取中点Q
在BC上取中点F
连EF,DQ,EQ,FQ
可得平行四边形CFEQ,BEQF,FQAE
∵CD⊥AB
又∵FQ∥AE
设CD与FQ的交点为M
则∠DMQ=90°
∴∠B=∠FQE
∵DQ为直角三角形斜边上的中线
∴DQ=AQ
∴∠QDE=∠A
∴∠QDC=∠QCD
∵∠QCD+∠A=90°
∵∠QDC+∠DQM=90°
∴∠DQM=∠A
∴DQ平分∠MQE
∴∠EQD=∠QDE=∠A
∴DE=QE
∴DE=QE=BE=1/2BC

追问

还有别的方法吗？

追答

现在重做，上面的不算
①在CB上取中点F连EF，FD
∵E,F为AB，CB的中点
∴∠FEB=∠A
在Rt△BDC中FD=1/2BC
FD=BF
∠B=∠FDB
又∵∠B=2∠A
∴∠FDB-2∠A
∴FDB=2∠FEB
又∵∠FDB=∠FEB+∠EFD
∴∠FEB=∠EFD
∴DE-DF
∴DE=1/2BC
②在CA上取中点Q连QE，QD
∵Q,E为AC,AB的中点
∴QE平行CB
∴∠B=∠QEA
又∠B=2∠A
∴∠QEA=2∠A
在Rt△CDA
Q是CA的中点
∴DQ=QA
∴∠QDE=∠A
∴∠QEA=2∠A
又∠QEA=∠DQE+∠QDE
∴∠DQE=∠QDE
∴DE=QE
∴DE=1/2CE

Answer 2

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