Question

将一副三角尺如图拼接：含30度角的三角尺（三角形abc）的长直角边与含45度角的三角尺（三角形ACD）的斜边

恰好重合。已知AB=2根号3，P是AC上的一个动点。当点P运动到角ABC的平分线上时，连接DP。求DP的长

Answer 1

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2 3，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．

解：在Rt△ABC中，AB=2 3，∠BAC=30°，
∴BC= 3，AC=3．
（1）如图（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF= 32．

∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF= 12，
∴DP= PF2+DF2= 102．
（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF= 32，∠ADF=45°，又PD=BC= 3，
∴cos∠PDF= DFPD= 32，
∴∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．

（3）CP= 32．
在□DPBQ中，BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴DP⊥AC．
根据（1）中结论可知，DP=CP= 32，
∴S□DPBQ=DP•CP= 94．

Answer 2

解：在Rt△ABC中，AB=2 3 ，∠BAC=30°，
∴BC= 3 ，AC=3．
（1）如图（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=3 2 ．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF=1 2 ，
∴DP= PF2+DF2 = 10 2 ．
（2）当P点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，DF=3 2 ，∠ADF=45°，又PD=BC= 3 ，
∴cos∠PDF=DF PD = 3 2 ，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．

（3）当点P运动到边AC中点（如图4），即CP=3 2 时，
以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=2 3 ，BC= 3 ，
∴根据勾股定理得：AC=3，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴DP=CP=1 2 AC=3 2 ，
∴S□DPBQ=DP•CP=9 4 ．

Answer 3

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2 3，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．

解：在Rt△ABC中，AB=2 3，∠BAC=30°，
∴BC= 3，AC=3．
（1）如图（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF= 32．

∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF= 12，
∴DP= PF2+DF2= 102．
（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF= 32，∠ADF=45°，又PD=BC= 3，
∴cos∠PDF= DFPD= 32，
∴∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．

（3）CP= 32．
在□DPBQ中，BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴DP⊥AC．
根据（1）中结论可知，DP=CP= 32，
∴S□DPBQ=DP•CP= 94．