Question

椭圆 x 2 16 + y 2 4 =1 上有两点P、Q，O为原点，若OP、OQ斜率之积为-

椭圆 x 2 16 + y 2 4 =1 上有两点P、Q，O为原点，若OP、OQ斜率之积为- 1 4 ，则|OP| 2 +|OQ| 2 为（　　） A．4 B．20 C．64 D．不确定

Answer 1

设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ）都在椭圆 x 2 16 + y 2 4 =1 上， 则OP、OQ斜率分别为： y 1 x 1 ， y 2 x 2 ． 由OP、OQ斜率之积为- 1 4 ，得： y 1 x 1 ? y 2 x 2 =- 1 4 ， 即x 1 x 2 =-4y 1 y 2 ，平方得 ( x 1 x 2 )   2 =16( y 1 y 2 )   2 ， 又 y 21 =4- 1 4 x 21 ， y 22 =4- 1 4 x 22 ，代入上式得： x 21 x 22 =16( 4- 1 4 x 21 )( 4- 1 4 x 22 ) ， 化简得： x 21 + x 22 =16 ． ∴ |OP | 2 +|OQ | 2 = x 21 + y 21 + x 22 + y 22 = x 21 + 4- 1 4 x 21 + x 22 + 4- 1 4 x 22 = 3 4 (x 21 + x 22 )+8 =12+8=20． 故选B．