Question

如图1,若△ABC和△ADE为等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,M,N分别EB,CD的中点． （1）易证：①CD="BE" ；②△

如图1,若△ABC和△ADE为等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,M,N分别EB,CD的中点． （1）易证：①CD="BE" ；②△AMN是 三角形；（2）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时, ①求证：CD=BE；②判断△AMN的形状,并证明你的结论；（3）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,（2）中的结论是否成立？直接写出即可,不要求证明；并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比．

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Answer 1

（1）等腰直角 ；（2）证明见解析；（3）（2）中的结论成立,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为：4：16:5.

试题分析：（1）根据已知条件易得△AMN等腰直角三角形； （2）①用SAS证明△DAC≌△EAB,易得结论；②由于△DAC≌△EAB可以推出△DAM≌△EAN,得到CD=BE,再找角之间的关系易得结论； （3）（2）中结论成立,令AD=a,求出△ADE与△ABC及△AMN的面积,再求出比值. 试题解析：（1）等腰直角 （2）①∵∠DAE=∠CAB=90° ∴∠DAC=∠EAB 又∵ AD=AE   AC=AB ∴△DAC≌△EAB     ∴ CD=BE；        ②△AMN是等腰直角三角形 ∵△DAC≌△EAB ∴∠CDA=∠BEA ∵ CD=BE  ∴ DM=EN 又∵ AD=AE ∴△DAM≌△EAN ∴ AM=AN,∠DAM =∠EAN ∵∠DAM+∠MAE=90° ∴∠EAN+∠MAE=90° ∴∠MAN=90° ∴△AMN是等腰直角三角形； (3)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,（2）中的结论成立(或CD=BE,△AMN是等腰直角三角形) 设AD="a," 那么AC="2a" （a≠0） CD= a,AM= △ADE与△ABC及△AMN的面积之比为： ： ： =4：16:5．