Question

数列{a n }的前n项和为S n =2a n -2，数列{b n }是首项为a 1 ，公差不为零的等差数列，且b 1 ，b 3 ，b 1

数列{a n }的前n项和为S n =2a n -2，数列{b n }是首项为a 1 ，公差不为零的等差数列，且b 1 ，b 3 ，b 11 成等比数列．（1）求a 1 ，a 2 ，a 3 的值；（2）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（3）求证： b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 +…+ b n a n ＜5．

Answer 1

（本题满分14分） （1）∵S n =2a n -2， ∴当=1时，a 1 =2a 1 -2，解得a 1 =2； 当n=2时，S 2 =2+a 2 =2a 2 -2，解得a 2 =4； 当n=3时，s 3 =a 1 +a 2 +a 3 =2a 3 -2，解得a 3 =8．-----------------（3分） （2）当n≥2时，a n =s n -s n-1 =2a n -2-（2a n-1 -2）=2a n -2a n-1 ，-----（5分） 得a n =2a n-1 又，a 1 =2， ∴数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以数列{a n }的通项公式为 a n = 2 n ．-----------------（7分） b 1 =a 1 =2，设公差为d，则由且b 1 ，b 3 ，b 11 成等比数列 得（2+2d） 2 =2（2+10d），-----------------（8分） 解得d=0（舍去）或d=3，----------------（9分） ∴b n =3n-1．-----------------（10分） （3）令T n = b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 +…+ b n a n = 2 2 + 5 2 2 +…+ 3n-1 2 n ， ∴2T n = 2+ 5 2 + 8 2 2 +…+ 3n-1 2 n-1 ，-----------------（11分） 两式式相减得 T n =2+ 3 2 + 3 2 2 +…+ 3 2 n-1 - 3n-1 2 n =2+ 3 2 (1- 1 2 n-1 ) 1- 1 2 - 3n-1 2 n =5- 3n+5 2 n ，-----------------（13分） 又 3n+5 2 n   ＞0，故： b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 +…+ b n a n ＜5．．-----------------（14）