Question

已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数．（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（

已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数．（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值；（Ⅲ）令g（x）=f(x)+2x-f′（x），若x≥1时，有不等式g（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

，令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（2）∵f′（x）=m+

1

x

，x∈（0，e]，
①若m≥0，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数，
∴f（x）_max=f（e）=me+1≥0，不合题意．
②若m＜0，则由f′（x）＞0，即0＜x＜?

1

m

由f′（x）＜0，即?

1

m

＜x≤e．
从而f（x）在（0，?

1

m

）上增函数，在（-

1

m

，e]为减函数，
∴f（x）_max=f（?

1

m

）=-1+ln（?

1

m

）
令-1+ln（?

1

m

）=-3，
∴m=e^-2，
∵-e²＜?

1

e

，
∴m=-e²为所求．
（Ⅲ）∵g（x）=

f(x)+2

x

-f′（x），f′（x）=m+

1

x

，f（x）=lnx+mx，
∴g（x）=

lnx

x

-

1

x

，
若x≥1时，有不等式g（x）≥

k

x+1

恒成立，
∴k≤g（x）（x+1）=lnx+

lnx

x

+

1

x

+1，
令h（x）=（x）（x+1）=lnx+

lnx

x

+

1

x

+1，
∴h′（x）=

x?lnx

x2

＞恒大于0，
∴h（x）在[1，+∞）为增函数，
∴h（x）_min=h（1）=2，
∴k≤2．