Question

如图所示，两根等高光滑的 1 4 圆弧轨道，半径为r、间距为L，轨道电阻不计．在轨道顶端连有一

如图所示，两根等高光滑的 1 4 圆弧轨道，半径为r、间距为L，轨道电阻不计．在轨道顶端连有一阻值为R的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻不计的金属棒从轨道的顶端ab处由静止开始下滑，到达轨道底端cd时受到轨道的支持力为2mg．整个过程中金属棒与导轨电接触良好，求：（1）棒到达最低点时的速度大小和通过电阻R的电流．（2）棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热和通过R的电荷量．（3）若棒在拉力作用下，从cd开始以速度v 0 向右沿轨道做匀速圆周运动，则在到达ab的过程中拉力做的功为多少？

Answer 1

（1）到达最低点时，设棒的速度为v，产生的感应电动势为E，感应电流为I，则 2mg-mg=m v 2 r 金属棒产生的感应电动势 E=BLv 感应电流 I= E R 解得 v= gr ， I= BL gr R （2）设产生的焦耳热为Q，由能量守恒定律有 Q=mgr- 1 2 m v 2 解得 Q= 1 2 mgr 设产生的平均感应电动势为 . E ，平均感应电流为 . I ，通过R的电荷量为q，则 . E = △? △t . I = . E R q= . I ?△t 解得 q= BrL R （3）金属棒在运动过程中水平方向的分速度 v x = v 0 cos( v 0 r t) 金属棒切割磁感线产生正弦交变电流的有效值 I= BL v 0 2 R 在四分之一周期内产生的热量 Q= I 2 R? πr 2 v 0 设拉力做的功为W F ，由功能关系有W F -mgr=Q 解得 W F =mgr+ πr B 2 L 2 v 0 4R 答： （1）棒到达最低点时的速度大小是 gr ，通过电阻R的电流是 I= BL gr R ． （2）棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热是 1 2 mgr ，通过R的电荷量为 BrL R ． （3）若棒在拉力作用下，从cd开始以速度v 0 向右沿轨道做匀速圆周运动，在到达ab的过程中拉力做的功为mgr+ πr B 2 L 2 v 0 4R ．