Question

（2013?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度

（2013?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得

AC2+BC2

=5cm．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，

AP

AC

=

AM

AB

，即

5?2t

4

=

4?t

5

，
解得t=

3

2

；
②当△APM∽△ABC时，

AM

AC

=

AP

AB

，即

4?t

4

=

5?2t

5

，
解得t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t=

3

2

时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；

（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴

PH

AC

=

BP

BA

，即

PH

4

=

2t

5

，
∴PH=

8

5

t，
∴S=S_△ABC-S_△BPN，
=

1

2

×3×4-

1

2

×（3-t）?

8

5

t，
=

4

5

（t-

3

2

）²+

21

5

（0＜t＜2.5）．
∵

4

5

＞0，
∴S有最小值．
当t=

3

2

时，S_最小值=