设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值，并证明当a＞1
设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值，并证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知f(1)...
设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值，并证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知f(1)＝32，函数g（x）=a2x+a-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；（3）若a=4，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λ?f（x）对x∈[?12，12]恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．
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（1）∵f（x）=kax-a-x是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，得k=1．
此时，f（x）=ax-a-x，f（-x）=a-x-ax=-f（x），即f（x）是R上的奇函数．
设x2＞x1，则f（x2）-f（x1）=ax2-
-（ax1?
）=（ax2?ax1）（1+
），
∵a＞1，x2＞x1，∴ax2＞ax1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x）在R上为增函数．
（2）∵f（1）=
，∴a-
=
，即2a2-3a-2=0，
解得a=2或a=-
（舍去），
∴g（x）=22x+2-2x-4（2x-2-x）=（2x-2-x）2-4（2x-2-x）+2，
令t=2x-2-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2x-2-x[1，2]上为增函数，∴t∈[
，
]，
∴g（x）=Φ（t）=t2-4t+2=（t-2）2-2，
当t=
时，g（x）有最大值
，当t=2时，g（x）有最小值-2，
∴g（x）的值域[-2，
]．
（3）f（2x）=42x-4-2x=（4x+4-x）?（4x-4-x），f（x）=4x-4-x，
假设存在满足条件的正整数λ，则（4x+4-x）?（4x-4-x）≥λ?（4x-4-x），
①当x=0时，λ∈R；
②当x∈(0，
]时，4x-4-x＞0，则λ≤4x+4-x，
令μ=4x，则μ∈（1，2]，易证z=μ+
在（1，2]上是增函数，
则λ≤z（1）=2；
③当x∈[?
，0)时，4x-4-x＜0，则λ≥4x+
∴f（0）=0，得k=1．
此时，f（x）=ax-a-x，f（-x）=a-x-ax=-f（x），即f（x）是R上的奇函数．
设x2＞x1，则f（x2）-f（x1）=ax2-
| 1 |
| ax2 |
| 1 |
| ax1 |
| 1 |
| ax2ax1 |
∵a＞1，x2＞x1，∴ax2＞ax1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x）在R上为增函数．
（2）∵f（1）=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 3 |
| 2 |
解得a=2或a=-
| 1 |
| 2 |
∴g（x）=22x+2-2x-4（2x-2-x）=（2x-2-x）2-4（2x-2-x）+2，
令t=2x-2-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2x-2-x[1，2]上为增函数，∴t∈[
| 3 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
∴g（x）=Φ（t）=t2-4t+2=（t-2）2-2，
当t=
| 15 |
| 4 |
| 17 |
| 16 |
∴g（x）的值域[-2，
| 17 |
| 16 |
（3）f（2x）=42x-4-2x=（4x+4-x）?（4x-4-x），f（x）=4x-4-x，
假设存在满足条件的正整数λ，则（4x+4-x）?（4x-4-x）≥λ?（4x-4-x），
①当x=0时，λ∈R；
②当x∈(0，
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| 2 |
令μ=4x，则μ∈（1，2]，易证z=μ+
| 1 |
| μ |
则λ≤z（1）=2；
③当x∈[?
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| 2 |
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