Question

设函数f(x)=x^3+mx^2+nx+p在（负无穷，0]上是增函数，在［0,2]上是减函数，x=2是方程f(x)=0的根，求证f...

设函数f(x)=x^3+mx^2+nx+p在（负无穷，0]上是增函数，在［0,2]上是减函数，x=2是方程f(x)=0的根，求证f(1)>=2

Answer 1

由已知可得f'(0) = 0，f'(2) <= 0(f(x)在[0,2]上是减函数，说明还有一个拐点大于2)，f(2) = 0
而f'(x) = 3x^2 + 2mx + n
所以有：n = 0，m <= -3，8+4m+p = 0
所以f(1) = 1+m+n+p = 1+m+p = -7 - 3m >=2

Answer 2

解：据题x=0是函数的极值点，∴ f'(0) = 0，∴n = 0
f(2) = 0，∴8+4m+p = 0
又f(x)在［0,2]上单减，∴f'(x) <= 0在[0,2]上恒成立
∴3x^2+2mx≤0,即m≤(-3x/2)的最小值-3. x∈[0,2]
∴f(1) = -7 - 3m ≥2 .