Question

已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx．（e≈2.71828）（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））x=1处的切线

已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx．（e≈2.71828）（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））x=1处的切线为l，若l与圆（x-1）2+y2=12相切，求a的值；（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线与Y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）f′（x）=e^x+a，因此过点（1，f（1））的直线斜率为e+a，
又f（1）=e+a，∴过点（1，f（1））的直线方程为：y-（e+a）=（e+a）（x-1），
即（a+e）x-y=0，又已知圆的圆心为（1，0），半径为

1

2

，
依题意，则有

|a+e|

(e+a)2+1

=

1

2

，解得a=-e+1，a=-e-1；
（II）∵在x≥0时，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
若x=0，a为任意实数，f（x）=e^x＞0恒成立，
若x＞0，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，即a＞-

ex

x

在x＞0上恒成立，
设Q（x）=-

ex

x

，Q′（x）=-

exx?ex

x2

=

(1?x)ex

x2

，
当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，Q（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，Q′（x）＜0，Q（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，Q（x）取得最大值，Q（x）_max=Q（1）=-e，
∴要使x≥0时，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，a的取值范围是（-e，+∞）；
（III）依题意，曲线C的方程为：y=e^xlnx-e^x+x，
令M（x）=e^xlnx-e^x+x，则M′（x）=

ex

x

+e^xlnx-e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，
设h（x）=

1

x

+lnx-1，则h′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

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