Question

数学2011中考预测题

如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ABC和△BCE，都是等边三角形，AB、CD、DA的中点分别是P、Q、M、N，判断四边形PQMN是怎样的四边形，并证明你的结论。

Answer 1

（1）证明：∵△ADE和△BCE都是等边三角形
∴AE=DE，CD=BE，∠AED=∠BE，
∴∠AED+∠DEC=∠BEC+∠DEC
即∠AEC=∠DEB
∴△ACE≌△DBE（SAS）．（3分）

（2）解：①在图中上画出四边形（5分）

②四边形PQMN为菱形（6分）
证明：∵P、Q分别是AB与BC的中点
∴PQ平行且等于 12AC
同理MN平行且等于 12AC，PN平行且等于 12BD
∴PQ平行且等于MN
∴四边形PQMN是平行四边形（7分）
由（1）△ACE≌△DBE得AC=BD
∴PQ=PN
∴四边形PQMN是菱形．（8分）
③如果四边形ABCD的面积为a，则四边形PQMN的面积是 12a（9分）
∵PQ平行且等于 12AC，∴S△PBQ= 14S△ABC
同理S△DMN= 14S△ACD
∴S△DMN+S△PBQ= 14S四边形ABCD= 14a
同理S△APN+S△CQM= 14a
∴四边形PQMN的面积为S四边形PQMN=a- 14a- 14a= 12a．（