Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23asinB=5c，cosB=1114．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23asinB=5c，cosB=1114．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=192，求△ABC的面积．

Answer 1

（ I）在△ABC中，∵cosB＝

11

14

，
∴sinB＝

5 3

14

，
∵2

3

asinB＝5c，
∴2

3

?a?

5 3

14

=5c
∴3a=7c，
∵

a

sinA

＝

c

sinC

，
∴3sinA=7sinC，
∴3sinA=7sin（A+B），
∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7?sinA?

11

14

+7cosA

5 3

14

∴-sinA=

3

cosA，
∴tanA＝?

3

，即A＝

2π

3

．
（Ⅱ）∵AB2+BD2?2AB?BDcosB＝

19

4

，
∴c2+(

7

6

c)2?2c?

7

6

c?

11

14

＝

19

4

，
∴c=3，则a=7，
∴S＝

1

2

acsinB＝

1

2

×3×7×

5 3

14

＝

15 3

4

．