Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，（1）求证：CN∥平面AMD；

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，（1）求证：CN∥平面AMD；（2）求面AMN与面NBC所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）∵ABCD是正方形，BC∥AD，
又∵BC?平面AMD，AD?平面AMD
∴BC∥平面AMD；（2分）
又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB，
又∵MD?平面AMD，NB?平面AMD
∴NB∥平面AMD，（4分）
又∵NB∩BC=B，NB，BC?平面BNC
所以平面BNC∥平面AMD，
又∵CN?平面BNC
故CN∥平面AMD；（5分）
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DM分别为x，y，z轴建立图示空间直角坐标系，则：
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）．N （1，1，1），M （0，0，1），

AM

＝(?1，0，1)，

AM

＝(0，1，1)，

AB

＝(0，1，0)（6分）
设平面AMN的一个法向量为

n

＝(x，y，z)，
由

AM ? n ＝0 AN ? n ＝0

得：

?x+z＝0 y+z＝0

（7分）
令z=1得：

n

＝(1，?1，1)．（8分）
易知：

AB

＝(0，1，0)是平面NBC的一个法向量．
故cos?

AB

，

n

＞＝

?1

3

＝?

3

3

（9分）
∴面AMN与面NBC所成二面角的余弦值为

3

3

（10分）