Question

下列说法中，正确的是（　　）①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数

下列说法中，正确的是（　　）①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a-x；③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；④设a∈{-1，1，12，3}，则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；⑤已知a是函数f（x）=2x-log0.5x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）＜0．A．①④B．①④⑤C．②③④D．①⑤

Answer 1

∵f（x）满足f（x+1）=f（1-x），∴f（a）=f（2-a），设M（a、b）是函数上的任一点，M关于x=1的对称点N（2-a，b）也在函数图象上，∴f（x）的图象关于x=1直线对称，①正确；
∵a＞1，y=a^x为增函数，x与-x大小不定，∴②不正确；
∵a＞0 时函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增，∴是充分不必要条件，故③不正确；
∵a=-1时定义域为{x|x≠0，x∈R}，a=

1

2

 时定义域是x≥0，a=1或3时，定义域为R且该函数为奇函数，故④正确；
∵f（a）=2^a-

log

a 0.5

=0，∵y=2^x为增函数，y=

log

x 0.5

为减函数，∴f（x）=2^x-log_0.5x为增函数，∴0＜x₀＜a，f（x₀）＜f（a）=0，故⑤正确；
故答案是①④⑤