Question

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2(n为正整数)。令bn=2^n*an,求an的通项

我是这样算的，可是跟答案有出入，看了很久也没看出来错在哪里，哪位高手帮忙看看！
Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
所以 S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2
相减
Sn-S(n-1)=an=-an-(1/2)^(n-1)+a(n-1)+(1/2)^(n-2)
(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2)-1/2*(1/2)^(n-2)=(1/2)^(n-2)
2an=a(n-1)+(1/2)^(n-2)
2an-(1/2)^(n-3)=a(n-1)+(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-3)
2[an-(1/2)^(n-2)]=a(n-1)-(1/2)^(n-3)
[an-(1/2)^(n-2)]/[a(n-1)-(1/2)^(n-3)]=1/2
所以an-(1/2)^(n-2)是等比数列，q=1/2

a1=S1=-a1-(1/2)^(1-1)+2=1-a1
a1=1/2
所以a1-(1/2)^(1-2)=1/2-2=-3/2
所以an-(1/2)^(n-2)=（-3/2）*(1/2)^(n-1)=(-3/4)*(1/2)^(n-2)
所以an=(-3/4)*(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-2)

即an=(1/4)*(1/2)^(n-2)=(1/2)^n

正确答案是：an=n*（1/2)^n(就是搞不懂前面那个n是怎么来的！）

Answer 1

答案是对的，你做错了！
从第7行开始：
s‹n›-S‹n-1›=a‹n›=[-a‹n›-1/2ⁿ⁻¹+2]-[-a‹n-1›-1/2ⁿ⁻²+2]=-a‹n›+a‹n-1›-1/2ⁿ⁻¹+1/2ⁿ⁻²
=-a‹n›+a‹n-1›+1/2ⁿ⁻¹ 【-1/2ⁿ⁻¹+1/2ⁿ⁻²=1/2ⁿ⁻¹，你从此处开始出错】
故有2a‹n›=a‹n-1›+1/2ⁿ⁻¹
两边同乘以2ⁿ⁻¹，得 a‹n›×2ⁿ=a‹n-1›×2ⁿ⁻¹+1 (n≧2)
设b‹n›=a‹n›×2ⁿ，则b‹n›-b‹n-1›=a‹n›×2ⁿ-a‹n-1›×2ⁿ⁻¹=1
即{b‹n›}是一个公差为1的等差数列。
∵a₁=1/2【你已求出，故不再推】∴b₁=a₁×2=(1/2)×2=1
∴b‹n›=a‹n›×2ⁿ=n，于是得a‹n›=n/2ⁿ.

Answer 2

2an=a(n-1)+(1/2)^(n-2)
2an-(1/2)^(n-3)=a(n-1)+(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-3)
2[an-(1/2)^(n-2)]=a(n-1)-(1/2)^(n-3)
是错的，第二步到第三步(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-3)不等于-(1/2)^(n-3)，应该是2an=a(n-1)+(1/2)^(n-2)，借助于bn=2^n*an，得到，关于bn的式子，bn是等差数列 得到bn进而求出an

追问

an=-an-(1/2)^(n-1)+a(n-1)+(1/2)^(n-2)
2（an-（1/2)^(n-1))=a(n-1)-(1/2)^(n-1)
这样就可以用叠乘法求出an=（1/2)^n
也不符合答案啊！
你说的用bn的式子求an应该怎样呢？！
拜托了！

Answer 3

2an=a(n-1)+(1/2)^(n-2)
2an-(1/2)^(n-3)=a(n-1)+(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-3)
2[an-(1/2)^(n-2)]=a(n-1)-(1/2)^(n-3)
(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-3)不等于-(1/2)^(n-3)，应该是2an=a(n-1)+(1/2)^(n-2)，借助于bn=2^n*an，得到，关于bn的式子，bn是等差数列 得到bn进而求出an