Question

在△ABC中内角A,B,C的对边为a,b,c且满足(2b-c)cosA-acosC=0若a=√3,S=（3√3）/4试判断△ABC的形状

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Answer 1

1）在△ABC中，由射影定理可知，b=ccosA+acosC,
(2b-c)cosA-acosC=0
2bcosA=ccosA+acosC
2bcosA=b
cosA=1/2，0º<C<180º，
∴角A=60º；

（2）由（1）知，角A=60º，cosA=1/2，sinA=(√3)/2，
∵三角形ABC的面积=(1/2)bcsinA=(3√3)/4
∴bc=3；

由余弦定理得，
a²=b²+c²-2bccosA，
将a=√3，A=60º ，bc=3代入上式，
得b²+c²=6，
(b+c)²=b²+c²+2bc=12
b+c=2√3
由b+c=2√3 ，bc=3，得b=c=√3，
又a=√3，
∴△ABC是边长为√3的等边三角形.