Question

如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB的中点C，且分别交OA、OB于点E、F．（1）求证：AB是⊙O的切线

如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB的中点C，且分别交OA、OB于点E、F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且 AB=4 3 ，求 ECF 的长．

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Answer 1

（1）证明：连接OC．（1分） ∵OA=OB，AC=BC， ∴OC⊥AB． ∵C在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线．（2分） （2）过B点作BD⊥AO，交AO的延长线于D点． 由题意有AB=2BD， AB=4 3 ． 在Rt△ABD中，根据正弦定义 sinA= BD AB = 1 2 ， ∴∠A=30度．（3分） 在Rt△ACO中， AC= 1 2 AB=2 3 ，∠A=30°， 则AO=2OC． 由勾股定理，求得OC=2．（4分） ∵OA=OB，且∠A=30°， ∴∠AOB=120度． 由弧长公式可求得 ECF 的长为 4 3 π ．（5分）