如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=12,AD=18,AB=10.动点P、Q分别从点D、B同时出发,动点
如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=12,AD=18,AB=10.动点P、Q分别从点D、B同时出发,动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度...
如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=12,AD=18,AB=10.动点P、Q分别从点D、B同时出发,动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动,当点Q运动到点C时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).(1)当点P在线段DA上运动时,连接BD,若∠ABP=∠ADB,求t的值;(2)当点P在线段DA上运动时,若以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切,求t的值;(3)设射线PQ与射线AB相交于点E,△AEP能否为等腰三角形?如果能,请直接写出t的值;如果不能,请说明理由.
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(1)已知动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度,
可得:DP=2t,AP=18-2t,
∵∠ABP=∠ADB,∠A=∠A,
∴△ABP∽△ADB,
∴
=
,
即AB2=AD?AP,
∴102=18×(18-2t),
解得:t=
.
∵
<9,
∴t=
.
(2)过点B作BH⊥AD,垂足为H,得BH=8,
记BQ中点为O1、AP中点为O2,连接O1O2,
过点O1作O1I⊥AD,垂足为I,则O1I=BH=8,
BO1=
,CO1=12?
,AO2=
=9?t,
DO2=9+t,
∴O2I=|(9+t)?(12?
)|=|
?3|,
当O1O2=BO1+AO2=
+(9?t)=9?
时
以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切,在Rt△O1IO2中,O1O22=O1I2+O2I2,
即(9?
)2=82+(
?3)2,整理得:t2=4,
∵t>0,
∴t=2;
(3)能,
①当EP=EA时,∠EPA=∠A,
此时四边形QPAB是等腰梯形,
∴BQ=PA-12,
∴t=18-2t-12,
∴t=2;
②当EP=PA时,
PM=PA-MN-AN=18-2t-t-6=12-3t,
EQ=BQ=t,
∴PQ=EP-EQ=18-2t-t=18-3t,
∵PQ2=PM2+QM2,
∴(18-3t)2=(12-3t)2+64,
解得:t=
;
③当AE=AP时,
∵AB=10,
∴EB=EA-AB=18-2t-10=8-2t,
∵
=
,
即
=
,
解得:t=
;
④当点P在DA延长线上
AP=AE(钝角三角形)
AP=2t-18,
AE=10-t
2t-18=10-t
解得:t=
t的值可以是t=
或t=
可得:DP=2t,AP=18-2t,
∵∠ABP=∠ADB,∠A=∠A,
∴△ABP∽△ADB,
∴
AB |
AD |
AP |
AB |
即AB2=AD?AP,
∴102=18×(18-2t),
解得:t=
56 |
9 |
∵
56 |
9 |
∴t=
56 |
9 |
(2)过点B作BH⊥AD,垂足为H,得BH=8,
记BQ中点为O1、AP中点为O2,连接O1O2,
过点O1作O1I⊥AD,垂足为I,则O1I=BH=8,
BO1=
t |
2 |
t |
2 |
18?2t |
2 |
DO2=9+t,
∴O2I=|(9+t)?(12?
t |
2 |
3t |
2 |
当O1O2=BO1+AO2=
t |
2 |
t |
2 |
以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切,在Rt△O1IO2中,O1O22=O1I2+O2I2,
即(9?
t |
2 |
3t |
2 |
∵t>0,
∴t=2;
(3)能,
①当EP=EA时,∠EPA=∠A,
此时四边形QPAB是等腰梯形,
∴BQ=PA-12,
∴t=18-2t-12,
∴t=2;
②当EP=PA时,
PM=PA-MN-AN=18-2t-t-6=12-3t,
EQ=BQ=t,
∴PQ=EP-EQ=18-2t-t=18-3t,
∵PQ2=PM2+QM2,
∴(18-3t)2=(12-3t)2+64,
解得:t=
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9 |
③当AE=AP时,
∵AB=10,
∴EB=EA-AB=18-2t-10=8-2t,
∵
QB |
PA |
EB |
EA |
即
t |
18?2t |
8?2t |
18?2t |
解得:t=
8 |
3 |
④当点P在DA延长线上
AP=AE(钝角三角形)
AP=2t-18,
AE=10-t
2t-18=10-t
解得:t=
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3 |
t的值可以是t=
29 |
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