如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=12，AD=18，AB=10．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点
如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=12，AD=18，AB=10．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度...
如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=12，AD=18，AB=10．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当点P在线段DA上运动时，连接BD，若∠ABP=∠ADB，求t的值；（2）当点P在线段DA上运动时，若以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，求t的值；（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请直接写出t的值；如果不能，请说明理由．
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（1）已知动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度，
可得：DP=2t，AP=18-2t，
∵∠ABP=∠ADB，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ADB，
∴
＝
，
即AB2=AD?AP，
∴102=18×（18-2t），
解得：t＝
．
∵
＜9，
∴t＝
．
（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H，得BH=8，
记BQ中点为O1、AP中点为O2，连接O1O2，
过点O1作O1I⊥AD，垂足为I，则O1I=BH=8，
BO1＝
，CO1＝12?
，AO2＝
＝9?t，
DO2=9+t，
∴O2I＝|(9+t)?(12?
)|＝|
?3|，
当O1O2＝BO1+AO2＝
+(9?t)＝9?
时
以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，在Rt△O1IO2中，O1O22=O1I2+O2I2，
即(9?
)2＝82+(
?3)2，整理得：t2=4，
∵t＞0，
∴t=2；
（3）能，
①当EP=EA时，∠EPA=∠A，
此时四边形QPAB是等腰梯形，
∴BQ=PA-12，
∴t=18-2t-12，
∴t=2；
②当EP=PA时，
PM=PA-MN-AN=18-2t-t-6=12-3t，
EQ=BQ=t，
∴PQ=EP-EQ=18-2t-t=18-3t，
∵PQ2=PM2+QM2，
∴（18-3t）2=（12-3t）2+64，
解得：t=
；
③当AE=AP时，
∵AB=10，
∴EB=EA-AB=18-2t-10=8-2t，
∵
＝
，
即
＝
，
解得：t=
；
④当点P在DA延长线上
AP=AE（钝角三角形）
AP=2t-18，
AE=10-t
2t-18=10-t
解得：t=
t的值可以是t＝
或t＝
可得：DP=2t，AP=18-2t，
∵∠ABP=∠ADB，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ADB，
∴
| AB |
| AD |
| AP |
| AB |
即AB2=AD?AP，
∴102=18×（18-2t），
解得：t＝
| 56 |
| 9 |
∵
| 56 |
| 9 |
∴t＝
| 56 |
| 9 |
（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H，得BH=8，
记BQ中点为O1、AP中点为O2，连接O1O2，
过点O1作O1I⊥AD，垂足为I，则O1I=BH=8，
BO1＝
| t |
| 2 |
| t |
| 2 |
| 18?2t |
| 2 |
DO2=9+t，
∴O2I＝|(9+t)?(12?
| t |
| 2 |
| 3t |
| 2 |
当O1O2＝BO1+AO2＝
| t |
| 2 |
| t |
| 2 |
以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，在Rt△O1IO2中，O1O22=O1I2+O2I2，
即(9?
| t |
| 2 |
| 3t |
| 2 |
∵t＞0，
∴t=2；
（3）能，
①当EP=EA时，∠EPA=∠A，
此时四边形QPAB是等腰梯形，
∴BQ=PA-12，
∴t=18-2t-12，
∴t=2；
②当EP=PA时，
PM=PA-MN-AN=18-2t-t-6=12-3t，
EQ=BQ=t，
∴PQ=EP-EQ=18-2t-t=18-3t，
∵PQ2=PM2+QM2，
∴（18-3t）2=（12-3t）2+64，
解得：t=
| 29 |
| 9 |
③当AE=AP时，
∵AB=10，
∴EB=EA-AB=18-2t-10=8-2t，
∵
| QB |
| PA |
| EB |
| EA |
即
| t |
| 18?2t |
| 8?2t |
| 18?2t |
解得：t=
| 8 |
| 3 |
④当点P在DA延长线上
AP=AE（钝角三角形）
AP=2t-18，
AE=10-t
2t-18=10-t
解得：t=
| 28 |
| 3 |
t的值可以是t＝
| 29 |
| 9 |
